Mathématiques de base Exemples

$\frac{b + 9}{1} + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Divisez $b + 9$ par $1$ .

$b + 9 + \frac{4}{b^{2} + b - 6}$

Étape 1.2

Factorisez $b^{2} + b - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $1$ .

$- 2, 3$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$b + 9 + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 2

Pour écrire $b$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$b \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $b$ et $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{b ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{b ((b - 2) (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(b - 2) (b + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (b (b + 3) - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 (b + 3)) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b (b \cdot b + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b (b^{2} + b \cdot 3 - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $b$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 \cdot b - 2 b - 2 \cdot 3) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{b (b^{2} + 3 b - 2 b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 b$ de $3 b$ .

$\frac{b (b^{2} + b - 6) + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b \cdot b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Multipliez $b$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $b$ par $b^{2}$ .

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Étape 4.4.1.1.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b^{1 + 2} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{b^{3} + b \cdot b + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} + b \cdot - 6 + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.4.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 \cdot b + 4}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 4.5

Factorisez $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 4.5.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 4.5.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 4.5.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.5.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Étape 4.5.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 1^{2} - 6 \cdot 1 + 4$

Étape 4.5.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 + 1 - 6 \cdot 1 + 4$

Étape 4.5.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 6 \cdot 1 + 4$

Étape 4.5.3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 - 6 + 4$

Étape 4.5.3.6

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 4 + 4$

Étape 4.5.3.7

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$0$

Étape 4.5.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $b - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4}{b - 1}$

Étape 4.5.5

Divisez $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ par $b - 1$ .

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Étape 4.5.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$b$

$1$

$b^{3}$

$b^{2}$

$6 b$

$4$

Étape 4.5.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $b^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $b$ .

					$b^{2}$
	$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$

Étape 4.5.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			+	$b^{3}$	-	$b^{2}$

Étape 4.5.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $b^{3} - b^{2}$

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$

Étape 4.5.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$

Étape 4.5.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$b^{2}$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Étape 4.5.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 b^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$

Étape 4.5.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					+	$2 b^{2}$	-	$2 b$

Étape 4.5.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 b^{2} - 2 b$

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$

Étape 4.5.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$

Étape 4.5.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$b^{2}$	+	$2 b$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Étape 4.5.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 b$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $b$ .

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$

Étape 4.5.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							-	$4 b$	+	$4$

Étape 4.5.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 b + 4$

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$

Étape 4.5.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$b^{2}$	+	$2 b$	-	$4$
$b$	-	$1$		$b^{3}$	+	$b^{2}$	-	$6 b$	+	$4$
			-	$b^{3}$	+	$b^{2}$
					+	$2 b^{2}$	-	$6 b$
					-	$2 b^{2}$	+	$2 b$
							-	$4 b$	+	$4$
							+	$4 b$	-	$4$
										$0$

Étape 4.5.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$b^{2} + 2 b - 4$

Étape 4.5.6

Écrivez $b^{3} + b^{2} - 6 b + 4$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9$

Étape 5

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + 9 \cdot \frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez $9$ et $\frac{(b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$ .

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)}{(b - 2) (b + 3)} + \frac{9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4) + 9 ((b - 2) (b + 3))}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Développez $(b - 1) (b^{2} + 2 b - 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{b \cdot b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Multipliez $b$ par $b^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $b$ par $b^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{b^{1} b^{2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{b^{1 + 2} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{b^{3} + b (2 b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{b^{3} + 2 b \cdot b + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.3

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.3.1

Déplacez $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 (b \cdot b) + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} + b \cdot - 4 - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.4

Déplacez $- 4$ à gauche de $b$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 \cdot b - 1 b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.5

Réécrivez $- 1 b^{2}$ comme $- b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 1 (2 b) - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b - 1 \cdot - 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{b^{3} + 2 b^{2} - 4 b - b^{2} - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.3

Soustrayez $b^{2}$ de $2 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 4 b - 2 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.4

Soustrayez $2 b$ de $- 4 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b + 9 \cdot - 2) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.6

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + (9 b - 18) (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.7

Développez $(9 b - 18) (b + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b (b + 3) - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 (b + 3)}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b \cdot b + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.8.1.1

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.8.1.1.1

Déplacez $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 (b \cdot b) + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.8.1.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b \cdot 3 - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.8.1.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 18 \cdot 3}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.8.1.3

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 27 b - 18 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.8.2

Soustrayez $18 b$ de $27 b$ .

$\frac{b^{3} + b^{2} - 6 b + 4 + 9 b^{2} + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.9

Additionnez $b^{2}$ et $9 b^{2}$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} - 6 b + 4 + 9 b - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.10

Additionnez $- 6 b$ et $9 b$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b + 4 - 54}{(b - 2) (b + 3)}$

Étape 7.11

Soustrayez $54$ de $4$ .

$\frac{b^{3} + 10 b^{2} + 3 b - 50}{(b - 2) (b + 3)}$